2012年考研数学真题(完整版)(2012年考研数学二真题及答案解析)

1、2012年全国硕士研究生入学统一考试数学2012年考研数学真题（完整版）2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题、选择题:1: 8小题，每小题4分，共32分.下列每题给 出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请 将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.2 曲线 y 渐近线 的条数 x 1()(a) 0(b) 1(c) 2(d) 3 设函数y(x) (ex 1)(e2x 2)l (enx n),其中n为正整数，则y (0)()(a)( 1)n1(n 1)!(b)( 1)n(n 1)!(c)( 1)n 1n!(d) ( 1)nn!(3)如果函数f(x,y)在(0,0)处连续，那么下列命题

2、正确的是(a)若极限limx 0 y 0f(x,y)存在，则f(x,y)在(0,0)处可微(b)若极限lim孚4存在，则f(x,y)在(0,0)处可微 x 0 xyy 0 xy(c)若f(x,y)在(0,0)处可微，则 极限!吗y 0f (x, y)x| y存在(d)若f(x,y)在(0,0)处可微，则 极限lim学中存在；0x y设 ik 0kex2sin xdx(k 1,2,3)则有()10(a) ii i2 13(b)、00(5)设10, 2icic2i3 i2 ii (c)111,41c3c4i 2 i 3 i1(d) i 2 i1 i3其中c1,c2,c3,c4为任意常数，则下列向量

3、组线性相关的为()(a) 1, 2, 3(b)1, 2, 4 (c)1,3,4(d)1 0 0(6)设a为3阶矩阵，p为3阶可逆矩阵，且p1ap 0 10.0 0 2若 p= ( 1, 2, 3)(12, 2, 3)则 q1aq ()1 0 0(a)0 2 0 (b)0 0 11 0 00 1 0 (c)0 0 22 002000 10(d)0200 02001(7)设随机变量x与y相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则px y ()(a)5(b)；(c)(8)将长度为1m的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为()(a)1(b)2(c)(d) 1二、填空题:9: 14小题，

4、每小题4分，共24分请将答案写在答题纸指定位置上.(9)若函数 f(x)满足方程 f(x) f(x) 2e)则 f (x)(10) q x 2x x2dx=(11)zgrad (xy+)|(2,i,i)y(12)设 x, y,z x y z 1,x 0,y 0,z 0 , 贝y2ds (13)设x为三维单位向量，e为三阶单位矩阵，则矩阵e xxt的秩为(14)设a, b, c是随机变量，a与 c互不相容，1-1p ab ,p c -,p abc 23三、解答题:1523小题，共94分.请将解答写在答暨纸

5、指 定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15) i正明 xln1-x cosx 1 ( 1 x 1) 1 x2(16)22x y 求函数f(x,y) xe =的极值(17)求品级数口白x2n的收敛域及和函数n 0 2n 1(18)已知曲线l: x f(t)t(0 t .其中函数f(t)具有连续导数，且y cost2f(0) 0,f,(t) 0 (0 t 3).若曲线l的切线与x轴的交点到切点的距离恒为1,求函数f(t)的表达式，并求此曲线l与x轴与y轴无边界的区域的面积。(19)已知l是第一象限中从点(0,0)沿圆周x2+y2 2x到点(2,0),再沿圆周x2+y2

6、 4到点(0,2)的曲线段，计算曲线积分j l3x2ydx (x3 x 2y)dy(20)(本题满分分)1a001设 a 01a0,1001a0a0010(i )计算行列式a;(ii)当实数a为何值时，方程组ax有无穷多解，并求其十 解。(21)10 1已知a 01 : 1 ,二次型 f (为区冬)xt(ata)x的秩为2 1 0 a0 a 1(1)求实数a的值；(2)求正交变换x qy将f化为标准型.(22)设二维离散型随机变量x、y的概率分布为0120140141013021120112(i )求 p x 2y ；(n )求 cov(x y,y).(23)设随机变量x与y相互独立且分别服从

7、正态分布n(u, 2)与 n(u，2 2),其中是未知参数且 0。设z x y.求z的概率密度f(z, 2)；(2)设z,z

2,l,zn为来自总体z的简单随机样本，求2的最大似然估计量)2(3)证明)2为2的无偏估计量数一参考答案、选择题12345678ccbdcbad二、填空题9、ex;10、11、1,1,1 ;12、/；13、2;14、21234三、解答题(15)2证明:令f x xln- cosx 1f(x)是偶函数 1 x2f x 4 / sinx x1 x 1 x224xxcosxcosx4- 2 02 2 x所以即证得:xln1cosx(16)f x, y解: xf x, y22x

8、 ye 222x yxe 222x y2xe 2 xy得驻点p11，0，h1,02f x,y2 x2f x,yx y2f x,y2yx2xe22x ye 22 y2222x y22xe 2 y 11 x2a>0,c>0,所以p1 1，0，为极根据判断极值的第二充分条件， 把p 1,0，代入二阶偏导数b=0, 小值点，极小值为1f 1,0 e 2把p2 1,0代入二阶偏导数b=0, a<0 , c<0,所以p2 1,0为极大值点，极大值为1f 1,0 e"(17)解:(i )收敛域limnan(x)an 1(x)，2，八4n4n 32(n 1) 1x2n 1li

9、mn24n2 4n 32(n 1) 14(n 1)2 4(n 1) 3 / 12(n 1) 122n 14(n 1)2 4(n 1) 3limn2 x1,当1时,技术发散。所以，收敛域为(1,1)(n)设s(x)4n24n2n 13x2n-2_(2n 1) 2×0 2n 12nr/c 2n 2 2n,(2n 1)x-x ( x02n 11)s(x)(2nn 02n1)x ,s2(x)0 2n 12n x因为x0 &(t)dtx(2n0 01)t2ndt2nxn 0j(xx1)所以s(x)(1(1 x)2(x1)因为xs2(x)20 2n 12n 1 x所以xs2(x)2x2n2n x0

10、1)所以x0ts2(t)出11 t2dtx0()dtln 1px| (x 1)即 xs2(x)1 xin 1 x故 xs2(x)in 当x 0时）s2(x)1ln x当x 0时）s(0)13(0)所以，s（x）s(x)s2(x)2 2(1 x )1 inx3(1,0) (0,1)(18)解:曲线l在任一处（x,y）的切线斜率为或 且，过该点（x,y）dx f （t）(3x2d1-241 3×2)d(2y)dy202 ydy1dd2ydyl12012年全国硕士研究生入学统一考试数学处的切线为丫 cost -fs(xf(t)。令 y。得 xf (t)cottf(t) o 由于曲线l与x轴和y轴的交

11、点到切点的距离恒为1.故有f(t)cottf(t) f(t)2 cos2t1)又因为f(t) 0(0t -)所以f(t) sin1两边同时取不定积分可得f(t) insect tant sint c cot t 77又由于f(0) 0,所以c = 0故函数f(t) in sect tant sint此曲线l与x轴和y轴所围成的无边界的区域的面积为:s02costf (t)dt (19)解:补充曲线l1沿y轴由点(2,0)到点(0,0) ,d为曲线l和l围城的区 域。由格林公式可得233x ydx (x x 2y)dyl1原式=3x2ydx (x3 x 2y)dyl j12(20)解:(i )1

12、0 a0aa1000a1000=1 a1(1)40 0a 01 a41 a(ii)对方程组ax的增广矩阵初等行变换:2012年全国硕士研究生入学统一考试数学100aa10010000a10a10000a10a101100001 aa可知，要使方程组可知 a此时，方程组1000a102 a0a1000a1110a1000a1000a13 a00a11102 aa1102 aa要使方程组ax有无穷多解，则有则有1 a4 0 且 a a2 0 ，ax100011000110001011001为最简形得0000100方程的特解为001001 ，故其通解为001110001 可知导出组的基础解系为011

13、1 ， 非齐次1,故其通解为11 k11010014(21) 解:1)r(a) r(ata) 22，知r(ata) 2，故对矩阵a初等变换得10101110a0a 110101100a10a 110101100 a100 1a10101100a1000r (a) 2 ，所以a2012年全国硕士研究生入学统一考试数学at a以b的特征值为0,22)22,2)(2)(6) 0 所对于对于对于0)6)b)xb)xb)x得对应的特征向量为 得对应的特征向量为 得对应的特征向量为(1,1, 1)t(1, 1,0)t(1,1,2)t2,111单位化可得正交矩阵131313121201.60-f=

14、贝 u qt aq 26626因此，变换x qy,的标准形为t tt22f(x) xt(ata)x ytay 2y2 6y2(22)解:x012p1/21/31/6y0121/31/31/3xy0124p7/121/301/12(i ) p x 2y p x 0,y 0 p x 2,y 1- 0 -44(ii ) cov(x y,y) cov(x,y) cov(y,y)cov(x,y) exy exey . 其中 ex -,ex2 1,ey 1,ey2 -, 332245dx ex2 (ex)2 1 – 9 922 522dy ey (ey) 1 . exy 33,3所以，cov(x,y) 0

15、,cov(y,y) dy 2,cov(x y,y) 2, xy 033(23)解:(1)因为 x: n(u, 2) , y:所以z的概率密度为n(u,2f (z,2)且x与y相互独立)故z x y: (0,3 2)1 eh z )31(2)最大似然函数为nnl( i1f(zi; i 1( 6 ez226 ),(i 1,2,l ,n)两边取对数,1 in2nin l( 2) in 6-i 1两边求导得dinl( 2)d( 2)z26( 2nzi2i 1dln l( dr_j) 2)1 n3ni1zi所以2的最大似然估计量) 21n 72- zi3n i 1(3)证明:e()2) lne(zi2)

16、3n i i所以)2为2的无偏估计量n n1_ _21_22-d(zi) (e(zi)2 -3 223n i i3n i i2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1 : 8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出 的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项 前的字母填在答题纸指定位置上. 曲 线 y 4 的 渐近线条数 x 1()(a) 0(b) 1(c) 2(d) 3 设函数f(x)=(ex 1)(e2x 2)l (enx n)其中n为正整数，则f(0)()(a)( 1)n1(n 1)!(b)( 1)n(n 1)!(c)( 1)n1n!(3)设为 0(

17、n 1,2,3l), 十&a2 a3 l an,则数列s有界是数列%收 敛的()(b)(a)充分必要条件分非必要条件(c)必要非充分条件充分也非必要(d)i k 0 ex sin xdx(k1,2,3)，则有(a) i1 i2 i3i3(b) i3 i2 i1(c) i2 i3 i(d)(x,y)x设函数f(x,y)为可微函数，且对任意的x,y都有0, 0,则使不等式“xc) f(x2,y2)成立的一个充分条件是)(a) x x2, y1 y2(b) xi x2,y1 y2(c)xix2, y1v2(d)x1x2, y1v2(6)设区域d由曲线y sinx，x万,y 1围成)则(x5y

18、 1)dxdy()(a)(d) (b)(c) -2(7)设00c101c211c311 , g)c2c4c3 , c4均为任意常数,则下列数列组相关的是(a)(d)2,3(b)(8)阶矩阵，p为1,2，4(c)3阶可逆矩阵，且p*2， 3(a)(b)(c)(d)填空题:9:14小题,每小题4分，共24分请将答案写q 1aq(9)d2y(10)limn上上ln 1 n 2 n n n(11)设z f lnx j ,其中函数f u可微)则在答题纸指定位置上.设y y(x)是由方程x2 y 1 ey所确定的隐函数，则x y x y .(12)微分方程ydx x 3y2 dy 0满足条件y、1 1的解

19、为(13)曲线y x2 xx 0上曲率为等的点的坐标 是.(14)设a为3阶矩阵，|a=3, a*为a伴随矩阵，若交换a的第1 行与第2行得矩阵b ,则ba*.三、解答题:1523小题，共94分.请将解答写在答题纸,指 定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)已知函数f x 1x 1记a lim f xsin x x (i )求a的值；(ii )若x 0当时，f x a与xk是同阶无穷小，求常数k的值. (16) 22x y求函数f x,y xe 2的极值.(17)过(0,1)点作曲线l:y lnx的切线，切点为a,又l与x轴交于b

20、 点，区域d由l与直线ab围城，求区域d的面积及d绕x轴旋转 一周所得旋转体的体积.(18)计算二重积分xyd，其中区域d为曲线r 1 cos 0 与极 d轴围成.(19)已知函数 f(x)满足方程 f (x) f (x) 2f(x) 0及 f (x) f(x) 2ex,(i)求的表达式；(ii) 求曲线 y f(x2)0xf(t2)dt 的拐点 f(0)(20)lie 明 xln1-x cosx 1 ( 1 x 1).1 x2 (21)证明方程 xn+xn-1 l x 1 n 1 的整数 ,在区间12，1内有且仅有一个实根；(ii )记(i )中的实根为证明nimxn存在，并求此

21、极限.(22)11001a0001a0001aa001(i)计算行列式|a；有无穷多解，并求其1(ii )当实数a为何值时，方程组ax解.(23)已知a1 00 11 00 a,一次型f玉？2?3xt ata x的秩为2,(i)求实数a的值；(ii )求正交变换x qy将f化为标准形.二参考答案-、选择题12345678ccadddcb:、填空题9、当；10、z；11、0；12、xy2;13、 1,0；14、27三、解答题15、解:xm0sin1 x sin x xlimx x 0 xsin x sin xx sin x x sin x lim x 0 xsin x sin xlim0xsin

22、 x所以k=1f x, yx2y22xe16、解:f x, yxe得驻点p11,0 ,p1,01×1,lim f x a lim 一 1x 0x 0 sin x x1 3xx sin x 1 xlim lim -x 0 xsin xx 0 xsin x2f x,y2x2f x,yx y2f x,y2y2222x y x y2xe 2 e 21 x222x y-22e 21 x y22x yxe 2 y2 1根据判断极值的第二充分条件，把p 1,0,代入二阶偏导数b=0, a>0, c>0,所以p1 1,0,为极小值点，极小值为1f 1,0 e 2把p2 1,0代入二阶偏导数b=0,

23、 a<0 , c<0,所以p2 1,0为极大值点，极大值为1f 1,0 e"(17)解:y 1设切点坐标xo,ln x。切线方程为y ln x。x x。 x 77xo又切线过点(0,1),所以e2,故切线方程为切线与x轴交点为 所围面积e2,0ey1 dy e2 1旋转体体积1 22 e23e2ln2xdx – e2 33(18)解:xyd 0d141 cosdcos sin00 cos sin 1 cos1t116 出150对应的特征方程为r2 r 2 0/=-2,(19)解: f(x) 2f(x)r=1所以 f xc1e2x c

24、2ex把 f x ge2xczex代入f (x) f(x) 2e )得到"dr,则j,= 1 4工w"3j；k血 >1=2×4* = 0是v, =。雎一的解，掷保讨论了在荣、0和，v。时的符号立2x> 0+2(1+2 i#，j:同理）当x<0时）y 0可知（0,0）点是曲线唯一的拐点。（20）证明:令fx xln1 xcosxln =2x -2- sin xx2 1 x24x2cosxcosx4- 2 02 2 x所以即证得:xln11cosx(21)令fn-1 xf x在区间上连续,且单调根据零点定理,得到在区间i,1单调，因2012年全国硕士研究生入学

25、统一考试数学此存在唯一零点。(ii )根据拉格朗日中值定理，存在点2xn.，f xn有xn所以xnf 1 21212>1f xn由夹逼原理得lim xn =0 n(22)(i )解:10 a0aa1000a1000=1 a1(1)40 0a 01 a41 a(ii)100a对方程组ax的增广矩阵初等行变换:a10010000a10a10000 a10 a101100001aa1000a102 a0a1000a1110a1000a1000a13 a00a11102 a a1102 a a可知, 可知a要使方程组ax有无穷多解,则有1 a4 0 且 a a2 0,此时，方程组ax1的增广矩阵

26、变为00110001100010101,进一步化0332012年全国硕士研究生入学统一考试数学401为最简形得000100方程的特解为001001001110001可知导出组的基础解系为0,故其通解为11 k1101001111，非齐次(23)解:(1)由二次型的秩为2,知r(ata) 2, 对矩阵a初等变换得故 r(a)r(ata) 21 00 11 00 a11a11 010 110 0 a 10 a 110000100111a1000010011a 10因 r(a)所以aata202(2)(0226)224022)02)所以b的特征值为0,2,对于对于对于0)解(1e b)x6)(2e

27、b)x(3e b)x单位化可得得对应的特征向量为 得对应的特征向量为 得对应的特征向量为(1,1, 1)t(1, 1,0)t(1,1,2)t11111121,16 102111,32,6正交矩阵q-1)贝 u qtaq6 726因此)作正交变换xqy,二次型的标准形为t tt22f(x) xt(ata)x ytay 2y2 6y22012年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题:1 : 8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出 的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项 前的字母填在答题纸指定位置上. 曲线 y =渐近线的条数为x 1()(a)0(b) 1(c) 2(d)

28、3设函数f(x) (ex 1)(e2x 2)l (enx n),其中n为正整数，则f,(0)()(a)( 1)n1(n 1)! (b) ( 1)n(n 1)! (c)( 1)n 1n!(d)( 1)nn!设函数f(t)连续，则二次积分02d、f(r2)rdr(a)02dx 11 y y2 f x pm (b)02dx 二 f(x2 ym(c)02dy；，jx2 y2 f (x2 y2)dx(d)02dy；41f (x2 y2)dx 已知级数(1)n而in上绝对收敛，级数 驾条件收敛，则n 1nn 1 n()(a)(d) 2 a 20设10clc2(b)c3c4(c),其中c1，c2，c3，c4

29、为任意常数，则下列向量组线性相关的为()(a) 1, 2, 3(b)(c)1， 3， 4(d)1 0 0(6)设a为3阶矩阵，p为3阶可逆矩阵，且p1ap 0 10.0 0 2若 p= ( 1, 2, 3)1 0 0(a)0 2 0(b)0 0 1(12, 2, 3)则 q 1aq ()100200010(c)010(d)002002(7)设随机变量x与y相互独立，且都服从区间(0.1 )上 的均匀分布)则p x2 y2 1()(a) ；(b) ；(c)-(d)7(8)设xi,x2,x3,x4为来自总体n(1, 2) (0)的简单随机样本，则统计量善的分布为()|x3 x4 21(a) n (

30、0,1 )(b) t(1) (c)2(d) f(i,i二、填空题:9: 14小题，每小题4分，共24分.请将答案写 在答题纸指定位置上. (9)1lim tanx cosx sin xx 4(10)设函数f xln . x , x 12x 1,x 1dydx(11)设连续函数 z f(x,y)满足 limf(x,y) 2x y 2 0 则 dz|01x 0, x2 (y 1)2(12)由曲线y 4和直线y x及y 4x在第一象限中围成的平面图 x形的面积为(13)设a为3阶矩阵，a 3, a*为a的伴随矩阵。若交换a的第1行与第2行得矩阵b,则ba*| (14)设a、b、c是随机事件，a与c互

31、不相容，p(ab) 1 , p(c)；,23贝u p(ab|c) 三、解答题:1523小题，共94分.请将解答写在答鹘纸.指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)2求极限重2 2cosx e(16)计算二重积分exydxdy,其中d是以曲线y 4y+及y轴为边界 .x的无界区域.2012年全国硕士研究生入学统一考试数学某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为 10000 (万元)，设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别 为x(件)和y (件)，且定两种产品的边际成本分别为20 k万 元/件)与6 y (万元/件)。(1)求生产甲乙两种产品的总成本函数 c(

32、x,y)(万元)(2)当总产量为50件时，甲乙两种的产量各为多少时可使 总成本最小？求最小成本 求总产量为50件时且总成本最小时甲产品的边际成本， 并解释其经济意义。(17)21正明 xlnx cosx 1 ,( 1 x 1) 1 x2(18)已知函数f(x)满足方程 f(x) f(x) 2ex(1)求f(x)的表达式(2) 求曲线y f(x2)0xf(t2)dt的拐点(20)11001a0001a0001aa001(1)计算行列式|a(2)当实数a为何值时，方程组ax有无穷多解，并求其1解.412012

33、年全国硕士研究生入学统一考试数学(21)101已知 a ；1

34、0、4；11、2dx dy；12、4ln2；13、 27；14、34三、解答题15、解:hmtg 产“un*- 2 + 2 co? j=htrjj*t0 x二 bm:一l （泰勒公贰）1216、解:17、解:2 cx(x,y)=20+x ,对 x 积分得:c(x,y) 20x、dy再对 y 求导有)cy (x, y) d y 6 y再对y积分有,所以 c(x,y) 20x x-4所以 c(x,y) 20x -42yd y 6y c226y c)又 c(0，0)2 y 6y 10000 210000 )所以c 10000(ii ) x+y=50)把 y=50-x 代入c(x,y)2220x 6y

35、 1000042c(x) 3x- 36x 115504令 c (x)3x236x 115500,得 x=24, y=50-24=26,这时总成本最小c (24,26) =11118万元(iii ) cx(x,y) 24,26 32 (万元/件)经济意义:总产量为50件，当甲产品的产量为24时，每增加一件甲产品，则甲产品的成本增加 32万元。4718、证明:令xln 1 xcosxln 32×2 xsin x1 x24x2cosx42 cosx2 2x所以即证得:xln1cosx19、解: f,r=

36、-2 )r=1所以f x2xxcec?e把 f x ge2xcze入 f(x) f(x) 2ex)得到f m,(s j1 b = 1 + 2jdp*3 j*c-r rfr, y"1 = 2i +1(1 +)9令v=u得为了说明工=0是口唯一的群，我fi侏讨论k在和工士o时的符号.同理）当x<0时）y 0可知（0,0）点是曲线唯一的拐点。20、解:2012年全国硕士研究生入学统一考试数学i）1a0001a0010=1 aa0011a001a001a00414a ( 1)4 1 1 a 01 a401a(ii) 对方程组ax1a0011a01a0101001a000a 0 0 10

37、0a21a00101a01001a00 0 0 1 a4 a a2的增广矩阵初等行变换:001a011a001a1a00101 a0 1001 a00 0 a3 1 a a2可知，要使方程组ax可知 a 1有无穷多解，则有1 a4 0且a a2 0，11001此时，方程组ax的增广矩阵变为01001 0 1 ，进一步化11000000为最简形得1000100010001110001 可知导出组的基础解系为011 ， 非齐次11010方程的特解为1 ，故其通解为k 1101001021、解:（ 1）2，知r(ata) 2，故 r(a) r(ata) 2492012年全国硕士研究生入学统一考试数学

38、53对矩阵a初等变换得10101110a0 a 11 010 110 0 a 10 a 110000100111a1000010011a 10因 r(a) 2)所以ata22)02)(2)(6) 0 所以b的特征值为0, 2 2,对于对于对于1， 2,0）解（b)xb)xb)x单位化可得正交矩阵q1313131,2120得对应的特征向量为 得对应的特征向量为 得对应的特征向量为1626(1,1, 1)t(1, 1,0)t(1,1,2)t因此）作正f(x) xt(ata)x ytay 2y2 6y222、解:1；2则 qtaq变换x qy）的标准形为x0p1/2121/31/6cov(x y,y) cov(x,y) cov(y,y)cov(x,y)exy exey ) 其中 ex2,ex2 1,ey 31,ey253,2dx ex2_2(ex) 12dy ey2(ey)2 3exy所以,cov(x,y)0,cov(y,y) dy2-,cov(x y,y) 323,xy 023、解:1-产 v>0.其它同理，的i曜e度为m*”第0.其它,j > 0,其它左和？同分布由 v=皿口巴二尸w= 1a>v,1 一 x ”户 | f :“1 = 1- 1 -* r) y 二初也广乂绰一尸卜血三二e八映口引=叩).