2007年考研数学三真题及完整解析(2007年考研数学二真题答案解析)

1、2007年研究生入学考试数学三试题一、选择题:110小题，每题4分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所 选项前的字母填在题后的括号内(1) 当 x0时，与、x等价的无穷小量是(a) 1e荻(b) in 一(c) j1 云 1 1仮(2)设函数f(x)在x 0处连续，以下命题错误的选项是:(a )假设lim型存在，那么f (0)0x 0 x(b)假设lim他存在，那么f (0)0x 0 x(b )假设 limf(x) f( x)x 0存在，那么f (0)(3)如图，连续函数y f(x)在区间2,0 , 0,2(a)f(3)(c) f(3)(4)(a)(c)x(d)假设

2、lim f(x) f( x)存在，那么x 03, 2 , 2,3上的图形分别是直径为xf(t)dt ,f (0)1的上、下半圆周，在区间那么以下结论正确的选项是:(d)f(3)54f(2)设函数f(x,y)连续，那么二次积分1dxsin xf(x,y)dy 等于1dyf (x,y)dx0arcs in y1arcs in ydy_ f(x,y)dx2(5 )设某商品的需求函数为 q1602p，其中q,p分别表示需要量和价格,如果该商品需求弹性的绝对值等于1,那么商品

3、的价格是(a)10.(b)20(c) 30.(d)40.(6)曲线y in 1 ex的渐近线的条数为x(a) 0.(b) 1.(c) 2.(d) 3.(7 )设向量组1, 2,3线性无关，那么以下向量组线性相关的是线性相关，那么(a)12, 23 ,31(b)12 ,23,31(c)1 2 2, 223,321(d)1 2 2, 2 23,321 . 21 1100(8)设矩阵a12 1,b010 ，那么a与b11 2000(a)合同且相似(b)合同，但不相似(c)不合同，但相似.(d)既不合同也不相似(9)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p(0 p 1)，那么此人第4次射

4、击恰好第2次击中目标的概率为2 2(a)3p(1 p) .( b)6p(1 p).(c)3p2(1 p)2.(d)6p2(1 p)2(10)设随机变量 x,y服从二维正态分布，且 x与丫不相关，fx(x), fy(y)分别表示x,y的概率密度，那么在y y的条件下,x的条件概率密度fxy(x| y)为f (x)(a) fx(x).(b) fy(y). (c) fx(x)fy(y). (d) x .fy(y)、填空题:1116小题，每题4分，共24分.把答案填在题中横线上(11)-x3x213 (sin x cosx) xiimx2x(12)设函数y1 ，那么 y(n)(0)2x 3(13)设f

5、 (u, v)是二兀可微函数，z f ,，那么x y x yx y3(14)微分方程dy11_y满足yx 11的特解为ydxx2x0100(15)设矩阵a0010，那么a3的秩为000100001(16)在区间 0,1中随机地取两个数，那么这两个数之差的绝对值小于一的概率为2三、解答题:1724小题，共86分解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤 (17)(此题总分值10分)设函数yy(x)由方程y in yx y 0确定，试判断曲线 yy(x)在点(1,1)附近的凹凸性(18)(此题总分值11分)设二元函数f (x, y)x2,|x| |y| 11，计算二重积分 f (x, y)d ，其中-

6、2, 1 |x| lyi 2d .x yd x,y |x|y| 2(19)(此题总分值11分)设函数f (x), g(x)在a,b上连续，在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a) g(a), f(b) g(b)，证明:存在 (a,b)，使得 f ( ) g ().(20)(此题总分值10分)将函数f (x)2展开成x 1的幕级数，并指出其收敛区间x3x4(21)(此题总分值11分)x1x2x30设线性方程组x12x2ax3 0与方程x1 2×2 x3 a 1有公共解，求a的值及所有公共解.x14x2a2x30(22)(此题总分值11分)设三阶对称矩阵a的特征向量值11

7、, 2 2, 32 ,1 (1, 1,1 )是a的属于1的一个特征向量,记b a5 4a3 e ,其中e为3阶单位矩阵(i) 验证1是矩阵b的特征向量，并求 b的全部特征值与特征向量;(ii) 求矩阵b.(23)(此题总分值11分)设二维随机变量(x,y)的概率密度为2 x y, 0 x 1,0 y 1 fz)0,其他.(i) 求 p x 2y ；(ii) 求z x y的概率密度.2007答案1.【分析】此题为等价无穷小的判定，利用定义或等价无穷小代换即可【详解】当 x 0 时，1ex:j7,v1vx1: 1 jx, 1cos jx:- 7x x,2 2 2故用排除法可得正确选项为(b)事实上

8、,ln(1 x) ln(1xiim 1 x 1. x 2 xx 012, xx o(x) 、x 0( x) :. x 或 in 1 二 ln(1 x) ln(1 j7)1. x所以应选(b)【评注】此题为关于无穷小量比较的基此题型，利用等价无穷小代换可简化计算类似例题见?数学复习指南?(经济类)第一篇【例 1.54】【例1.55】2.【分析】此题考查可导的极限定义及连续与可导的关系.由于题设条件含有抽象函数，此题最简便的方法是用赋值法求解，即取符合题设条件的特殊函数f (x)去进行判断，然后选择正确选项【详解】取f (x) |x|，那么lim丄一0，但f(x

9、)在x 0不可导，应选(d).x 0 x事实上，在(a),(b)两项中，因为分母的极限为0，所以分子的极限也必须为0，那么可推得f(0)0.在(c)中，lim f (x)存在，那么 f (0)0, f (0) limf (x)f-(0)lim f (x)0，所以(c)项正确,x 0 xx 0 x0x 0 x应选(d)【评注】对于题设条件含抽象函数或备选项为抽象函数形式结果以及数值型结果的选择题，用赋值法求解往往能收到奇效.类似例题见 强化班笔记?高等数学?第2讲【例2】, 07考研模拟试题数学二第一套(2).【分析】此题实质上是求分段函数的定积分 可得3【详解】利用定积分的几何意义,1f(

10、3) 2123，f(2)822f( 2)f (x)dx2f(x)dx 0f (x)dx|f(2)，应选(c).所以f(3)3 f(2)4【评注】此题属基此题型.此题利用定积分的几何意义比较简便类似例题见 强化班笔记?高等数学?第5讲【例17】和【例18】，?数学复习指南?(经济类)第一篇【例3.38】【例3.40】.4【分析】此题更换二次积分的积分次序，先根据二次积分确定积分区域，然后写出新的二次积分【详解】由题设可知，一 x,sinx y 1，那么0 y 1, arcsiny x ,2故应选(b).【评注】此题为根底题型.画图更易看出.类似例题见 强化班笔记?高等数学?第10讲【例5】，

11、?数学复习指南?(经济类)第一篇【例7.5】,【例7.6】.5.【分析】此题考查需求弹性的概念【详解】选d商品需求弹性的绝对值等于dq pdp q2p160 2pp 40,应选d.【评注】需掌握微积分在经济中的应用中的边际，弹性等概念相关公式及例题见?数学复习指南?经济类第一篇【例 11.26.【分析利用曲线的渐近线的求解公式求出水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线，然后判断【详解lim xy limx1 lnx1x e,limxylim -xxln 1 ex0 ,所以y0是曲线的水平渐近线；limylim 2, 3构造的另一向量组 1, 2, 3的线性相关性一般令ln 1x e，所以x

12、0是曲线的垂直渐近线；x 0x 0 x1in 1x eln1exx elimylim -0limlim1ex1,xxxxxxx1blimy xlim1ln 1x ex0 ,所以yx是曲线的斜渐近线xxx应选d【评注此题为基此题型，应熟练掌握曲线的水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线的求法注意当曲线存在水平渐近线时，斜渐近线不存在.此题要注意ex当x ,x时的极限不同.6讲第4节【例12,?数学复习指南?经济类第一篇【例类似例题见 强化班笔记?高等数学?第7.【分析此题考查由线性无关的向量组a，假设a0，那么1, 2, 3线性相关；假设a0 ,那么1, 2, 3线性无关但5.30,【例 5.31

13、.考虑到此题备选项的特征，可通过简单的线性运算得到正确选项【详解由1223310可知应选a).或者因为10110 112,23 ,311,2,3110 ，而11 00 ,01101 1所以12,23,31线性相关，应选a)【评注此题也可用赋值法求解，如取 11,0,0 t,20,1,0t,30,0,1 t,以此求出(a), ( b), (c),d 中的向量并分别组成一个矩阵，然后利用矩阵的秩或行列式是否为零可立即得到正确选项完全类似例题见 强化班笔记?线性代数?第3讲【例3,?数学复习指南?经济类?线性代数?a的特征值，并考虑到实对称矩8【分析】此题考查矩阵的合同关系与相似关系及其之间的联系

14、，只要求得 阵a必可经正交变换使之相似于对角阵，便可得到答案【详解】由 e a11(3)2可得 123, 30，2所以a的特征值为3,3,0 ;而b的特征值为1,1,0.所以a与b不相似，但是 a与b的秩均为2,且正惯性指数都为 2,所以a与b合同，应选b 【评注】假设矩阵a与b相似，那么a与b具有相同的行列式，相同的秩和相同的特征值所以通过计算 a与b的特征值可立即排除a c.完全类似例题见?数学复习指南?经济类第二篇【例 5.17.9【分析此题计算贝努里概型，即二项分布的概率关键要搞清所求事件中的成功次数【详解p=前三次仅有一次击中目标，第4次击中目标1 2 2 2c3p1 p p 3p

15、1 p,应选c.【评注此题属基此题型类似例题见?数学复习指南?经济类第三篇【例1.29【例1.3010.【分析此题求随机变量的条件概率密度，利用x与y的独立性和公式fxy也可求解.fyy【详解因为 x,y服从二维正态分布，且 x与y不相关，所以x与y独立，所以fx,y fxxfyy. 故fx|yx|y便卫 邑凶他 fxx，应选a.|fyyfyy【评注假设 x,y服从二维正态分布，那么 x与y不相关与x与y独立是等价的.完全类似例题和求法见 强化班笔记?概率论与数理统计?第3讲【例3,?数学复习指南?经济类第三篇第二章知识点精讲中的一4,二3和【例2.3811.【分析此题求类未定式，可利用“抓

16、大头法和无穷小乘以有界量仍为无穷小的结论【详解因为limxx3x2 1x3limx2x2x 2×31电2×0,| sin x cosx | 2 , 1所以limxx3 x212xx3(sin xcosx)0.【评注无穷小的相关性质:1有限个无穷小的代数和为无穷小；2有限个无穷小的乘积为无穷小；3无穷小与有界变量的乘积为无穷小完全类似例题和求法见 强化班笔记?高等数学?第1讲【例1】，?数学复习指南?经济类第篇【例1.4312,.【分析此题求函数的高阶导数，利用递推法或函数的麦克老林展开式【详解y12x 32x 3 巧，那么 ynx(1)n 2n n!(2x 3)n 1，故 yn0(1)n 2

17、n n!3n1【评注此题为根底题型完全类似例题见 强化班笔记?高等数学?第2讲【例21,?数学复习指南?经济类第一篇【2.20,【例2.21.13.【分析此题为二元复合函数求偏导，直接利用公式即可 【详解利用求导公式可得2 f1 丄 f2，x yz1 fxf12f2 ，yxy所以x z y -2fdf2xyxy【评注二元复合函数求偏导时，最好设出中间变量，注意计算的正确性完全类似例题见 强化班笔记?高等数学?第 9讲【例8 ,【例9，?数学复习指南?经济类第一篇【例6.16,【例6.17,【例6.18.14.【分析此题为齐次方程的求解，可令【详解令u y，那么原方程变为xduu x dxd

18、u3udx2x两边积分得12u21 in x21ln c ,211訐 即x euc，将y1代入左式得故满足条件的方程的特解为exxln x 1【评注此题为根底题型.7讲【例2 ,【例3，?数学复习指南?经济类完全类似例题见 强化班笔记?高等数学?第第一篇【例9.3. 15【分析先将a求出，然后利用定义判断其秩0100000100103 0000【详解aa3r(a) 10001000000000000【评注】此题为根底题型矩阵相关运算公式见?数学复习指南?经济类第二篇第二章第 1节中的知识点精讲16【分析】根据题意可得两个随机变量服从区间0,1上的均匀分布，利用几何概型计算较为简便【详解】利用

19、几何概型计算图如下:所求概率sasd1 1221【详解方程y l n y x y0两边对x求导得y l n yy 1 y 0,y即y (2in y) 1，那么y(1)12上式两边再对x求导得y (2lny)2y 0【评注】此题也可先写出两个随机变量的概率密度，然后利用它们的独立性求得所求概率完全类似例题见 强化班笔记?概率论与数理统计?第3讲【例11】，?数学复习指南?经济类第三篇【例2.291，【例2.47.17.【分析由凹凸性判别方法和隐函数的求导可得y1那么y 1-，所以曲线y yx在点1,1附近是凸的.8【评注此题为根底题型类似例题见 强化班笔记?高等数学?第6讲【例10,?数学复

20、习指南?经济类第一篇【例5.29.18.【分析】由于积分区域关于 x, y轴均对称，所以利用二重积分的对称性结论简化所求积分 【详解】因为被积函数关于 x,y均为偶函数，且积分区域关于x, y轴均对称，所以f (x, y)ddf(x,y)ddi，其中di为d在第一象限内的局部而 f (x, y)ddix2dx y 1,x 0,y 02 2x y1 x y 2,x 0,y 01×212 x1dx x dy dxdy0001 x227x y1_,_in 1,2 .1222 x1所以 f (x, y)dd-4、.2ln 12 .3【评注】被积函数包含|22x y时，可考虑用极坐标，解答如下:1f (

21、x, y)dd1 x y 21xy2x y02sin cos1sin cosx 0, y 0x 0, y 0dr类似例题见 强化班笔记?高等数学?第10讲【例1】，?数学复习指南?(经济类)第一篇【例 7.3例 7.4.19.【分析由所证结论f ( ) g ()可联想到构造辅助函数f(x) f (x) g(x)，然后根据题设条件利用罗尔定理证明【详解令f(x) f (x) g(x)，那么f(x)在a,b上连续，在(a,b)内具有二阶导数且 f(a) f(b) 0.(1) 假设 f(x),g(x)在(a,b)内同一点 c 取得最大值，那么 f (c) g(c) f(c) 0 ,于是由

22、罗尔定理可得，存在1 (a,c), 2 (c,b)，使得f ( 1) f ( 2)0.再利用罗尔定理，可得存在 (1,2)，使得f ( ) 0，即f ( ) g ().(2) 假设f(x),g(x)在(a,b)内不同点“q取得最大值，那么f(cj g) m，于是f(g) f(cj g(cj 0,fg) f(q) gg) 0,于是由零值定理可得，存在 c3 (g,c2)，使得f(c3) 0于是由罗尔定理可得，存在i (a,c3), 2 (c3,b)，使得f ( i) f ( 2)0.再利用罗尔定理，可得，存在 (1, 2)，使得f ( ) 0，即f ( ) g ().【评注】对命题为

23、f(n)( )0的证明，一般利用以下两种方法:方法一:验证 为f(n (x)的最值或极值点，利用极值存在的必要条件或费尔马定理可得证；方法二:验证f(n1)(x)在包含x于其内的区间上满足罗尔定理条件.4.5】,类似例题见 强化班笔记?高等数学?第4讲【例7】，?数学复习指南?(经济类)第一篇【例4.6】.20.【分析】此题考查函数的幕级数展开，利用间接法【详解】f (x)3x 4(x4)(x 1)，而13n(x0 3n11)n, 22n1所以f(x)(x(du 1)n2* 1八 1)n,3.收敛区间为1 x【评注】请记住常见函数的幕级数展开 完全类似例题见 强化班笔记8.15

24、 】.?高等数学?第11讲【例13】，?数学复习指南?(经济类)第篇【例nn1) (x 1)2n21.【分析】将方程组和方程合并，然后利用非齐次线性方程有解的判定条件求得a.【详解】将方程组和方程合并，后可得线性方程组为 x2 花 02x2ax304x2a2x302x2x3a 1其系数矩阵111011 10-12a001 a 10a2214a003 a 10121a 101 0a 11 1 1 00 1 a 1 00 0 a2 3a 2 00 0 1 a a 11 1 1 00 1 a 1 00 0 1 a a 10 0 (a 1)(a 2) 0显然，当 a 1,a 2 时无公共解 .当 a

25、1 时，可求得公共解为当 a 2 时，可求得公共解为tk 1,0, 1 ,k 为任意常数；0,1, 1经济类)第二篇【例【评注 】此题为根底题型，考查非齐次线性方程组解的判定和结构 . 完全类似例题见 强化班笔记?线性代数?第 4 讲【例 8】，?数学复习指南? 4.12】，【例 4.15】 .13 1 1 2 1 ，22【分析】此题考查实对称矩阵特征值和特征向量的概念和性质【详解】(i)b 1 a5 4a3 e 1 1 1 4那么1是矩阵b的属于一2的特征向量同理可得b 225 4 23 1 22 ，b33.所以 b 的全部特征值为 2，1，设b的属于1的特征向量为2 (x1,x2,x3)

26、t ，显然 b 为对称矩阵，所以根据不同特征值所对应的特征向量正交，可得即 x1x2 x30，k1 (1,0,1)tt120

.解方程组可得b的属于1的特征向量k2 (0,1,0) t ，其中 k1,k2 为不全为零的任意常数由前可知b的属于一2的特征向量为k3(1, 1,1)t，其中k3不为零.1 0 1100ii )令 p-1011 ，由(i)可得 p- bp010 ，那么1 0 1002【评注 】此题主要考查求抽象矩阵的特征值和特征向量，此类问题一般用定义求解，要想方设法将题设条 件转化为axx的形式请记住以下结论:(1)设 是方阵a的特征值，那么ka, aa be,a2, f (a),

27、a 1, a*分别有特征值k ,a b, 2, f ,-, a可逆，且对应的特征向量是相同的2对实对称矩阵来讲，不同特征值所对应的特征向量一定是正交的完全类似例题见 强化班笔记?线性代数?第5.24 】讲【例12】,?数学复习指南?经济类第二篇【例23.【分析】i可化为二重积分计算;ii利用卷积公式可得【详解】ip x 2y2 x yx 2ydxdy1dx0ii利用卷积公式可得fz(z)f(x,z x)dxz(2 x)dx,01z 1(2 x)dx,0,2z(2其他2,zz)20,z其他2.【评注】ii也可先求出分布函数，然后求导得概率密度?概率论与数理统计?完全类似例题见 强化班笔记济类

28、第三篇【例 2.38】，【例2.44.第3讲【例10】，【例11】，?数学复习指南?经24此题总分值11分设总体x的概率密度为1厂f(x)-2(1 )0,其他xj,x2，,xn为来自总体x的简单随机样本，x是样本均值.i求参数的矩估计量ii判断4×2是否为2的无偏估计量，并说明理由【分析】利用ex2x求i;判断e 4x【详解】i exxf (x)dxdx21 x ,1dx2 1242x(ii)e 4x24e x24 dx2ex4 -dx2exne 4×24 2dx2ex1丄21丄n3n3n1 _5_412n一、222x .ix2 2 1而exx f(x)dxdx-dx0 :2 133 6所以dx2225exex 12 1248所以故4×2不是2的无偏估计量【评注】要熟练掌握总体未知参数点估计的矩估计法，最大似然估计法和区间估计法经济类第三完全类似例题见 强化班笔记?概率论与数理统计?第5讲【例3】，?数学复习指南?篇【例6.3，例6.6，例6.9】，